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1、设△PBC垂心为H。

【资料图】

2、连接AH。

3、连接PH延长交BC于M，连接AM。

4、在△PAM中做PN垂直于AM。

5、由题目中的向量OA+向量OB+向量OC=零向量条件可知O点为△ABC的重心(你画画图就一目了然了，而且这是个重要性质，常用到)。

6、又因为PM⊥BC，且AH⊥BC(AH⊥面PBC)，所以BC⊥面PAM。

7、所以BC⊥PN。

8、又因为PN⊥AM，所以PN⊥面ABC，所以N与O点重合。

9、因为BC⊥面PAM，所以AM⊥BC，即AM既是BC边垂线又是BC边中线，所以AB=AC。

10、因为M为BC中点，所以PM也是其中线，所以PB=PC。

11、设PB=PC=a，MB=MC=b，所以PM=根号下(a^2-b^2).连接BH延长交PC于K。

12、则BK为高线。

13、根据△BMH∽△PCM可求出MH=b^2/根号下(a^2-b^2).在△PAM中，有△AMH∽△PMO，又因为AO=2OM。

14、所以AM/PM=MH/OM.可求出AM=(根3)b/3.这样因为PA=6，且AO=(2根3)b/3，所以PO=根号下(36-4b^2/3).这样三棱锥体积为PO*AM*BC/6=根号下(36-4b^2/3)*(根3)b*2b/6=根号下[(36-4b^2/3)*(2b^2/3)*(2b^2/3)]*(根3)/2=<根号下{[(36-4b^2/3+2b^2/3+2b^2/3)/3]^3}*(根3)/2=36(最后这一步运用了基本不等式)【【不清楚，再问;满意， 请采纳!愿你开☆，祝你好运!!】】。